Pengertian Lengkap Momen Gaya dan Momen Inersia

1. Momen Gaya

Momen gaya (torsi) adalah sebuah besaran yang menyatakan besarnya gaya yang bekerja pada sebuah benda sehingga mengakibatkan benda tersebut berotasi. Anda telah mengetahui bahwa gaya akan menyebabkan terjadinya perubahan gerak benda secara linear. Apabila Anda ingin membuat sebuah benda berotasi, Anda harus memberikan momen gaya pada benda tersebut. Apakah momen gaya itu? Agar Anda dapat memahami konsep momen gaya, lakukanlah kegiatan Kerjakanlah Percobaan 1. berikut.

Percobaan Fisika Sederhana 1 :

Memahami Prinsip Momen Gaya

Ambillah satu penggaris. Kemudian, tumpukan salah satu ujungnya pada tepi meja. Doronglah penggaris tersebut ke arah atas atau bawah meja. Bagaimanakah gerak penggaris? Selanjutnya, tariklah penggaris tersebut sejajar dengan arah panjang penggaris. Apakah yang terjadi? Bandingkan kedua kejadian tersebut. Kesimpulan apakah yang Anda dapatkan? Diskusikanlah dengan teman Anda.

Saat Anda memberikan gaya F yang arahnya tegak lurus terhadap penggaris, penggaris itu cenderung untuk bergerak memutar. Namun, saat Anda memberikan gaya F yang arahnya sejajar dengan panjang penggaris, penggaris tidak bergerak. Hal yang sama berlaku saat Anda membuka pintu.

Gambar 7. Sebuah batang dikenai gaya sebesar F yang tegak lurus terhadap batang dan berjarak sejauh r terhadap titik tumpu O. Batang tersebut memiliki momen gaya τ =r×F

Gaya yang Anda berikan pada pegangan pintu, tegak lurus terhadap daun pintu sehingga pintu dapat bergerak membuka dengan cara berputar pada engselnya. Gaya yang menyebabkan benda dapat berputar menurut sumbu putarnya inilah yang dinamakan momen gaya. Definisi momen gaya secara matematis dituliskan sebagai berikut.

τ  = r × F                           (1–18)

dengan:

r = lengan gaya = jarak sumbu rotasi ke titik tangkap gaya (m),

F = gaya yang bekerja pada benda (N), dan

τ = momen gaya (Nm).

Perhatikan Gambar 8.

Gambar 8. Jungkat-jungkit setimbang karena momen gaya pada kedua lengannya sama besar. [4]

Pada gambar tersebut tampak dua orang anak sedang bermain jungkat-jungkit dan berada dalam keadaan setimbang, walaupun berat kedua anak tidak sama. Mengapa demikian? Hal ini berhubungan dengan lengan gaya yang digunakan. Anak yang lebih ringan berjarak 3 m dari titik tumpu (r₁ = 3 m), sedangkan anak yang lebih berat memiliki lengan gaya yang lebih pendek, yaitu r₂ = 1,5 m. Momen gaya yang dihasilkan oleh masing-masing anak adalah :

τ₁ = r₁ × F₁

τ₁ = (3 m)(250 N) 

τ₁ = 750 Nm 

τ₂ = r₂ × F₂
τ₂ = (1,5 m)(500 N)
τ₂ = 750 Nm

Dapat disimpulkan bahwa kedudukan setimbang kedua anak adalah akibat momen gaya pada kedua lengan sama besar.

Perhatikan Gambar 9.

Gambar 9. Momen gaya yang ditimbulkan oleh gaya yang membentuk sudut θ terhadap benda (lengan gaya = r).

Apabila gaya F yang bekerja pada benda membentuk sudut tertentu dengan lengan gayanya (r), Persamaan (1–18) akan berubah menjadi :

τ = rF sinθ    (1-19)

Dari Persamaan (1–19) tersebut, Anda dapat menyimpulkan bahwa gaya yang menyebabkan timbulnya momen gaya pada benda harus membentuk sudut θ terhadap lengan gayanya. Momen gaya terbesar diperoleh saat θ = 90° (sinθ = 1), yaitu saat gaya dan lengan gaya saling tegak lurus. Anda juga dapat menyatakan bahwa jika gaya searah dengan arah lengan gaya, tidak ada momen gaya yang ditimbulkan (benda tidak akan berotasi). Perhatikanlah Gambar 10a dan 10b.

Gambar 10. Semakin panjang lengan gaya, momen gaya yang dihasilkan oleh gaya akan semakin besar. [4]

Arah gaya terhadap lengan gaya menentukan besarnya momen gaya yang ditimbulkan. Momen gaya yang dihasilkan oleh gaya sebesar F pada Gambar 10b lebih besar daripada momen gaya yang dihasilkan oleh besar gaya F yang sama pada Gambar 10a. Hal tersebut disebabkan sudut antara arah gaya terhadap lengan gayanya. Momen gaya yang dihasilkan juga akan semakin besar jika lengan gaya semakin panjang, seperti terlihat pada Gambar 10c. Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa besar gaya F yang sama akan menghasilkan momen gaya yang lebih besar jika lengan gaya semakin besar. Prinsip ini dimanfaatkan oleh tukang pipa untuk membuka sambungan antarpipa.

Sebagai besaran vektor, momen gaya τ memiliki besar dan arah. Perjanjian tanda untuk arah momen gaya adalah sebagai berikut.

a. Momen gaya, τ, diberi tanda positif jika cenderung memutar benda searah putaran jarum jam, atau arahnya mendekati pembaca.

b. Momen gaya, τ, diberi tanda negatif jika cenderung memutar benda berlawanan arah putaran jarum jam, atau arahnya menjauhi pembaca.

Perjanjian tanda untuk arah momen gaya ini dapat dijelaskan dengan aturan tangan kanan, seperti yang ditunjukkan pada Gambar 11.

Gambar 11. (a) Gaya yang menghasilkan momen gaya positif (mendekati pembaca) ditandai dengan titik. (b) Gaya yang menghasilkan momen gaya negatif (menjauhi pembaca) ditandai dengan tanda silang. [5]

Arah jari-jari merupakan arah lengan gaya, dan putaran jari merupakan arah gaya (searah putaran jarum jam atau berlawanan arah). Arah yang ditunjukkan oleh ibu jari Anda merupakan arah momen gaya (mendekati atau menjauhi pembaca).

Gambar 12. Pada benda bekerja dua gaya, yaitu F1 dan F2 yang menghasilkan momen gaya –τ1 dan +τ 2 .

Perhatikan Gambar 12. Jika pada benda bekerja beberapa gaya, momen gaya total benda tersebut adalah sebagai berikut. Besar τ yang ditimbulkan oleh F₁ dan F₂ terhadap titik O adalah τ₁ dan τ₂. τ₁ bernilai negatif karena arah rotasi yang ditimbulkannya berlawanan arah putaran jarum jam. Sedangkan, τ₂ bernilai positif karena arah rotasi yang ditimbulkannya searah putaran jarum jam. Resultan momen gaya benda itu terhadap titik O dinyatakan sebagai jumlah vektor dari setiap momen gaya. Secara matematis dituliskan :

τ total = Σ (r × F)

atau :

τ_total = τ₁ + τ₂

Contoh Soal 5 :

Pada sebuah benda bekerja gaya 20 N seperti pada gambar. Jika titik tangkap gaya berjarak 25 cm dari titik P, berapakah besar momen gaya terhadap titik P?

Kunci Jawaban :

Diketahui: F = 20 N, r = 25 cm, dan θ = 150°.

τ = r F sinθ

τ = (0,25 cm)(20 N)(sin 150°)

τ = (0,25 cm)(20 N)(1/2)

τ = 2,5 Nm.

Contoh Soal 6 :

Sebuah gaya F = (3i + 5j) N memiliki lengan gaya r = (4i + 2j) m terhadap suatu titik poros. Vektor i dan j berturut-turut adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu-x dan sumbu-y pada koordinat Kartesian. Berapakah besar momen gaya yang dilakukan gaya F terhadap titik poros?

Kunci Jawaban :

Diketahui: F = (3i + 5j)N dan r = (4i + 2j)m.

τ = r × F = (4i + 2j)m × (3i + 5j)N = (4)(5) (k) Nm + (2)(3) (–k) Nm = 14 k

Jadi, besarnya momen gaya 14 Nm yang searah sumbu z.

Contoh Soal 7 :

Batang AC yang panjangnya 30 cm diberi gaya seperti terlihat pada gambar. Jika BC = 10 cm dan F₁ = F₂ = 20 N, berapakah momen gaya total terhadap titik A?

Kunci Jawaban :

Diketahui: r₁ = 20 cm, F₁ = F₂ = 20 N, r₂ = 30 cm, θ 1 =53°, dan θ 2 = 90°.

τ = –r₁ F₁ sinθ 1 + r₂ F₂ sinθ 2

τ = –(0,2 m)(20 N)(sin 53°) + (0,3 m)(20 N)(sin 90°)

τ = –3,2 Nm + 6 Nm = –2,8 Nm.

2. Momen Kopel

Kopel adalah pasangan dua buah gaya yang sejajar, sama besar, dan berlawanan arah. Kopel yang bekerja pada suatu benda akan mengakibatkan benda tersebut berotasi.

Gambar 13. Kopel dari dua gaya yang sama besar dan berlawanan arah.

Momen kopel (M) adalah perkalian silang antara dua besaran vektor, yaitu gaya dan jarak antara kedua gaya tersebut. Secara matematis, dituliskan sebagai berikut.

M = F × d                (1–21)

Perjanjian tandanya, yaitu jika kopel menyebabkan perputaran benda searah putaran jarum jam, momen kopel (M) bernilai positif (mendekati pembaca, ʘ). Sebaliknya, apabila kopel menyebabkan perputaran benda berlawanan arah dengan putaran jarum jam, momen kopel bernilai negatif (menjauhi pembaca ⊗).

Gambar 14. (a) Momen kopel positif mendekati pembaca diberi tanda ʘ. (b) Momen kopel negatif menjauhi pembaca diberi tanda ⊗.

Contoh aplikasi momen kopel dalam keseharian terdapat pada pedal sepeda. Kedua kaki akan memberikan gaya F yang sama pada pedal sepeda (panjang pedal sama) dengan arah keduanya saling berlawanan.

Gambar 15. Kopel digunakan dalam mengayuh sepeda. [6]

3. Momen Inersia

Sebuah benda yang berotasi pada sumbunya, cenderung untuk terus berotasi pada sumbu tersebut selama tidak ada gaya luar (momen gaya) yang bekerja padanya. Ukuran yang menentukan kelembaman benda terhadap gerak rotasi dinamakan momen inersia (I).

Momen inersia suatu bergantung pada massa benda dan jarak massa benda tersebut terhadap sumbu rotasi. Jika benda berupa partikel atau titik bermassa m berotasi mengelilingi sumbu putar yang berjarak r, momen inersia partikel itu dinyatakan dengan persamaan

I = mr₂                    (1–22)

Dari Persamaan (1–22) itu, Anda dapat menyimpulkan bahwa momen inersia suatu partikel berbanding lurus dengan massa partikel dan kuadrat jarak partikel tersebut terhadap sumbu rotasinya.

Dengan demikian, semakin jauh jarak poros benda (sumbu rotasinya), besar momen inersia benda tersebut akan semakin besar. Prinsip ini banyak digunakan dalam atraksi sirkus, misalnya atraksi berjalan pada seutas tali. Dalam atraksi tersebut, pemain akrobat membawa sepotong kayu panjang yang akan memperbesar momen inersianya sehingga ia dapat menyeimbangkan badannya saat berjalan pada tali tersebut.

Gambar 16. Kayu panjang yang dibawa pemain akrobat memperbesar momen inersianya sehingga ia dapat menyeimbangkan tubuhnya saat berjalan menyusuri tali. [7]

Apabila terdapat banyak partikel dengan massanya masing-masing m₁, m₂, dan m₃, serta memiliki jarak masing-masing r₁, r₂, dan r₃ terhadap poros (sumbu rotasi), momen inersia total partikel tersebut adalah penjumlahan momen inersia setiap partikelnya. Secara matematis, dituliskan sebagai berikut.

Contoh Soal 8 :

Empat partikel dihubungkan dengan batang kayu yang ringan dan massanya diabaikan seperti pada gambar berikut.

Jika jarak antarpartikel sama, yaitu 20 cm, berapakah momen inersia sistem partikel tersebut terhadap

a. poros PQ;

b. poros RS.

Kunci Jawaban :

Diketahui: m₁ = 1 kg, m₂ = 2 kg, m₃ = 2 kg, m₄ = 1 kg, dan r = 20 cm.

a. Momen inersia sistem terhadap poros PQ, berarti PQ sebagai sumbu rotasi

I = m₁r₁² + m₂r₂² + m₃r₃² + m₄r₄²

I = (1 kg)(0,2 m)² + (2 kg)(0 m)² + (2 kg)(0,2 m)² + (1 kg)(0,4 m)² = 0,28 kgm²

b. Momen inersia sistem terhadap poros RS, berarti RS sebagai sumbu rotasi

I = m₁r₁² + m₂r₂² + m₃r₃² + m₄r₄²

I = (1 kg)(0,6 m)² + (2 kg)(0,4 m)² + (2 kg)(0,2 m)² + (1 kg)(0 m)² = 0,76 kgm²

Catatan Fisika :

Momen Inersia

Dengan mengukur perubahan yang kecil pada orbit satelitsatelit, ahli geofisika dapat mengukur momen inersia Bumi. Hal ini menginformasikan pada kita bagaimana massa planetplanet terdistribusi di bagian dalamnya. Teknik yang sama juga telah digunakan di pesawat ruang angkasa antarplanet untuk menyelidiki struktur dalam dari dunia-dunia lain. Sumber: Fisika Universitas, 2002. [8]

Dengan mengukur perubahan yang kecil pada orbit satelit-satelit, ahli geofisika dapat mengukur momen inersia Bumi. Hal ini menginformasikan pada kita bagaimana massa planet-planet terdistribusi di bagian dalamnya. Teknik yang sama juga telah digunakan di pesawat ruang angkasa antarplanet untuk menyelidiki struktur dalam dari dunia-dunia lain. (Sumber: Fisika Universitas, 2002)

Benda tegar adalah suatu benda yang memiliki satu kesatuan massa yang kontinu (tidak terpisahkan antara satu sama lain) dan bentuknya teratur. Pada benda tegar, massa benda terkonsentrasi pada pusat massanya dan tersebar pada jarak yang sama dari titik pusat massa benda. Oleh karena itu, momen inersia benda tegar dapat dihitung menggunakan teknik integral dengan persamaan

I = ∫ r²dm                          (1–24)

Momen inersia berbagai bentuk benda tegar berdasarkan sumbu rotasinya dituliskan pada tabel berikut.

Tabel 2. Momen Inersia Berbagai Bentuk Benda Tegar [9][10]

Dalam kasus benda tegar, apabila momen inersia benda terhadap pusat massa I_pm diketahui, momen inersia benda terhadap sumbu lain yang paralel dengan sumbu pusat massa dapat dihitung menggunakan teori sumbu paralel, yaitu

I = I_pm + md₂             (1–25)

dengan:

d = jarak dari sumbu pusat massa ke sumbu paralel (m), dan

m = massa benda (kg).

Contoh Soal 9 :.

Sebatang kayu silinder panjangnya 100 cm dan bermassa 800 g. Tentukan momen inersia batang kayu itu, jika batang kayu tersebut berputar dengan sumbu putarnya:

a. di tengah-tengah,

b. di ujung.

Kunci Jawaban :

Diketahui: l = 100 cm dan m = 800 g = 0,8 kg.

a. Momen inersia batang kayu dengan sumbu putarnya di tengah:

I = 1/12 ml² = 1/12 (0,8 kg)(1 m)² = 0,067 kgm².

b. Momen inersia batang kayu dengan sumbu putarnya di ujung:

I = 1/3 ml² = 1/3 (0,8 kg)(1 m)² = 0,067 kgm².

Contoh Soal 10 :

Sebuah piringan yang bermassa M dirotasikan dengan poros melalui pusat massa O dan tegak lurus pada piringan. Momen inersia pusat massa piringan tersebut adalah I_pm = 1/2 mR² dengan R adalah jari-jari piringan. Tentukanlah momen inersia piringan tersebut jika poros digeser ke sisi piringan, yaitu di titik S yang sejajar dengan poros semula.

Kunci Jawaban :

Diketahui: I_pm = 1/2 mR² dan d = R.

Karena sumbu putar digeser sejauh d = R dari pusat massa, menurut teorema sumbu sejajar, momen inersia piringan adalah

I_s = I_pm + md² = 1/2 mR² + mR² = 3/2 mR².

artikel ini disalin lengkap dari: http://perpustakaancyber.blogspot.co.id/2013/03/pengertian-gerak-rotasi-kinematika-dan-dinamika-momen-gaya-inersia-kesetimbangan-benda-tegar-contoh-soal-kunci-jawaban.html
halaman utama website: http://perpustakaancyber.blogspot.co.id/
jika mencari artikel yang lebih menarik lagi, kunjungi halaman utama website tersebut. Terimakasih!