1. Gelombang Seismik
Gelombang merupakan fenomena alam dimana terjadi perambatan usikan atau energi dari suatu sumber ke titik-titik lain. Gelombang seismik adalah gelombang-gelombang yang merambat baik di dalam maupun di permukaan bumi yang berasal dari sumber seismik seperti dari sumber gempa dimana terjadi batuan pecah secara tiba-tiba di dalam bumi, ledakan(proses kimia dan nuklir), erupsi gunung api, longsoran, badai dan sebagainya.
Gelombang seismik termasuk gelombang mekanik dimana medium dibutuhkan dalam
perambatannya dan partikel dari medium tersebut berosilasi ketika gelombang melewatinya. Gelombang ini akan tercatat oleh seismometer sebagai seismogram yang merepresentasikan osilasi partikel di titik stasiun seismik tersebut. Gelombang merambatkan energi dari sumber ke seluruh bagian bumi dan membawa informasi baik tentang sumber seismik maupun medium yang dilewatinya.
Osilasi partikel yang disebutkan diatas dapat diartikan bahwa partikel tersebut berpindah dari keadaan setimbangnya. Perpindahan tersebut dinamakan displacement yang merupakan ukuran absolut perubahan posisi partikel. Komponen displacement dalam koordinat kartesian didefinisikan sebagai (u,v,w). Regangan merupakan ukuran lokal dari perubahan relatif dalam medan displacement. Regangan lebih berhubungan dengan deformasi atau perubahan bentuk dari perubahan absolut posisi.
Secara umum gelombang seismik dibagi menjadi dua yaitu gelombang badan dan gelombang permukaan. Gelombang badan atau bodi yaitu gelombang yang merambat di dalam medium. Gelombang jenis ini energinya ditransfer melalui medium dalam bumi. Biasanya dibagi menjadi dua yaitu gelombang P dan gelombang S. Gelombang P adalah gelombang longitudinal dimana arah pergerakan partikel akan searah dengan arah rambat gelombang. Gelombang P bergerak pada medium cair dan padat. Gelombang S merupakan gelombang transversal dimana arah pergerakan partikel akan tegak lurus dengan arah rambat gelombang. Gelombang P hanya merambat pada medium padat. Kecepatan gelombang P lebih besar dari kecepatan gelombang S jika merambat pada medium yang sama oleh karena itu gelombang P merupakan gelombang yang pertama kali sampai dan terdeteksi oleh receiver.
Pada gelombang S, gerak partikel ketika melewati suatu medium akan tegak lurus terhadap arah rambat gelombangnya dan terjadi perubahan bentuk (shear) tanpa perubahan volume. Arah gerak partikel ketika dilewati gelombang S secara umum bisa tak hingga banyaknya karena arah tegak lurus terhadap arah rambat gelombang yang jumlahnya tak berhingga. Oleh karena itu, para seismologis mendefinisikan dua buah tipe gelombang S yaitu gelombang SV (Shear Vertikal) dan SH (Shear Horizontal). Arah rambat gelombang dinyatakan oleh arah ray. Gerak partikel gelombang SV tegak lurus terhadap ray dan terletak pada bidang vertikal yang juga mengandung ray. Sedangkan gerak gelombang SH juga tegak lurus terhadap ray tapi terletak pada bidang horizontal atau sejajar dengan permukaan bumi.
Gelombang permukaan adalah gelombang yang merambat pada permukaan medium. Gelombang permukaan terbentuk dari interferensi gelombang-gelombang tersebut yang mempunyai sifat tertentu akibat interaksinya dengan permukaan bebas. Gelombang permukaan bersifat dispersif yaitu kecepatan gelombangnya tergantung pada frekuensi. Semakin besar frekuensinya semakin kecil kecepatannya dan penetrasi kedalamannya semakin dangkal dan sebaliknya.
Gelombang permukaan biasanya dibagi menjadi dua yaitu gelombang Love dan Rayleigh. Gelombang Love terbentuk akibat adanya interferensi gelombang-gelombang pantul gelombang SH pada suatu lapisan dekat permukaan bumi. Gerak partikel medium ketika dilewati Gelombang Love tentu saja sama dengan gelombang SH, tapi amplitudonya berkurang terhadap kedalaman. Tipe kedua gelombang permukaan adalah gelombang Rayleigh. Gelombang ini terbentuk akibat interferensi gelombang-gelombang pantul P dan SV yang sudut datangnya melebihi sudut kritis. Gerak partikel medium ketika dilewatinya berbentuk elips yang merupakan kombinasi dari gerak partikel gelombang P dan SV.amplitudonya juga akan turun terhadap kedalaman. (Afnimar, 2009)
2. Strain (Regangan)
Regangan didefinisikan sebagai suatu perbandingan antara perubahan dimensi suatu bahan dengan dimensi awalnya. Karena merupakan rasio antara dua panjang, maka regangan ini merupakan besaran yang tidak berdimensi atau tidak memiliki satuan. Dengan demikian regangan dinyatakan hanya dengan suatu bilangan tidak bergantung pada sistem satuan apapun. Harga numerik dari regangan biasanya sangat kecil karena batang yang terbuat dari bahan struktural hanya mengalami perubahan panjang yang kecil apabila dibebani. Asumsi yang selalu digunakan adalah bahwa benda terkekang sepenuhnya sehingga tidak bisa bergerak sebagai benda kaku jadi tidak mungkin ada perpindahan partikel benda tanpa perubahan bentuk benda tersebut.
Bidang vector u (x,t) membutuhkan deskripsi pergerakan dari setiap titik dalam medium. Medium mengalami dua tipe pergerakan fundamental yaitu
regangan normal melibatkan prubahan fraksi antar titik. Jika
dimisalkan sebuah segmen garis tegak lurus OQ (gambar 1b) dalam medium
yang terdistorsi yang berpindah ke garis O’Q’, kita bisa mendefinisikan
regangan geser sebuah pengukuran distorsi angular dalam yang di nyatakan
dalam:
dimana θ’adalah sudut Q’;O;’P’. Agar dapat berguna, regangan
geser dan regangan normal harus di definisikan dengan mematuhi subuah
sistem koordinat. (Lay & Wallace, 1995)
2.1 Hubungan Strain dan Perpindahan
Tujuan yang ingin dicapai sebenarnya adalah menentukan hubungan umum tiga dimensional antara sembilan komponen regangan kartesian dan tiga komponen perpindahan (u1, u2, u3). Misalkan ada sebuah kubus bervolume dengan titik pusatnya P seperti pada gambar 4 yang mempunya sisi tegak lurus dengan sumbu koordinat x1, x2, dan x3.
Perpindahan Q ke Q’ diberikan oleh persamaan berikut :
Dan panjang P’Q’ diberikan oleh :
Dengan pendekatan hukum kosinus, kita dapat mengetahui sembilan
hubungan regangan yang beberapa hubungannya adalah sebagai berikut :
Sembilan hubungan tersebut merupakan tensor regangan infiniti,
yaitu tensor simetri dengan enam kuantitas bebas yang bisa dituliskan
dengan persamaan berikut :
(Lay & Wallace, 1995)
3. Stress (Tekanan)
Stress didefinisikan sebagai intensitas gaya yang bekerja pada tiap satuan luas bahan. Akibat gaya luar yang bekerja, maka akan terjadi gaya dalam diantara benda. Oleh karena intensitas distribusi ini, stress dapat diperoleh dengan membagi gaya tarik total P dengan luas potongan penampang A.
Jika satu-kesatuan gaya bekerja pada sebuah partikel, baik partikel dalam maupun partikel luar, dimana gaya tersebut mempengaruhi setiap setiap titik dalam benda. Hal ini termasuk adanya gaya luar benda. Dua tipe gaya yang dapat di katakan satu kesatuan gaya yaitu body force dan contact forces. Body forces menyesuaikan pada volume materialnya. Yang biasa diberikan sebagai gaya berat dimana massa bergantung pada volume dan densitas material. Sedangkan gaya kontak adalah sebuah gaya yang bergantung pada luas permukaan. Gaya badan mempunyai dimensi gaya per volume sedangkan gaya kontak mempunyai dimensi gaya per satuan luas.
Untuk benda yang dikenai gaya luar, gaya kontak dalam harus bekerja pada suatu medium kami menggambarkan suatu medium yang mempunyai sistem sebaran gaya dalam seperti di ilustrasikan di bawah ini,
(Lay & Wallace, 1995)
4. Persamaan Gerak
Gelombang adalah suatu gangguan dari keadaan setimbang yang bergerak dari satu tempat ke tempat lain (Young & Freedman, 1996). Sistem gelombang mempunyai fungsi gelombang yang menggambarkan perpindahan satu partikel dalam medium. Fungsi tersebut tergantung pada posisi dan waktu (dimensi ruang dan waktu ), sehingga secara umum fungsi gelombang dapat dinyatakan dengan . Pada gelombang satu dimensi, dimana gelombang merambat dalam arah dan bergerak dengan kecepatan konstan sebesar , fungsi gelombang dapat dinyatakan sebagai
(Alonso & Finn, 1980).
Persamaan diatas menggambarkan perambatan gelombang dengan kecepatan dalam ruang satu dimensi. Pada gelombang elektromagnetik nilai menyatakan komponen E dan H, pada tali yang digetarkan nilai menyatakan perpindahan dari keadaan setimbang, dan pada kelistrikan nilai menyatakan arus atau beda potensial (Boas, 1983).
Bentuk umum dari hukum konstitutif untuk elastisitas linear adalah Hukum Hooke sebagai berikut
Cijkl dikenal sebagai modulus elastisitas dan didefinisakn
sebagai parameter material suatu medium. Dalam bentuk umumnya adalah
terdapat 81 hubungan penjumlahan linier 9 elemen dari tensor regangan
dan tensor tekanan. Salah satu contoh hubungan tersebut adalah sebagai
berikut :
Berikut adalah tabel hubungan antara modulus elastistitas.
Hukum konstitutif dan hubungan regangan-perpindahan adalah sebagai berikut :
4.1 Persamaan Gelombang Satu Dimensi
Gelombang satu dimensi yaitu gelombang yang merambat dalam satu arah, contohnya gelombang tali, gelombang pada dawai dan sejenisnya. Pemantulan gelombang satu dimensi dapat kita buktikan dengan cara melakukan suatu percobaan sederhana. Ikat salah satu ujung tali pada sebuah tiang, pegang salah satu ujung tali, kemudian sentakkan ujung tali tersebut. Setelah ujung tali di sentakkan, akan terbentuk pulsa-pulsa gelombang yang merambat sepanjang ujung tali tersebut. Ketika pulsa mencapai tiang, bagian tali yang dekat dengan tiang memberikan gaya tarik pada siang, sesuai dengan Hukum III Newton yang menyatakan bahwa jika terdapat gaya aksi maka juga terdapat gaya reaksi. Hal inilah yang menyebabkan pulsa-pulsa gelombang yang merambat sepanjang tali bergerak naik- turun ke atas dan ke bawah.
Untuk persamaan gelombang satu dimensi dapat dimisalkan dengan sebuah batang tipis dengan panjang tak hingga dan arah X1. Osilasi longitudinal hanya menghasilkan perpindahan pada arah X1.
Dimana rho adalah densitas batang, sehingga didapatkan
Kemudian berdasarkan hukum konstitutif dimana E adalah modulus Young. Jika
Maka didapatkan persamaan gelombang satu dimensi sebagai berikut.
Solusi umum persamaan gelombang untuk satu dimensi biasanya adalah solusi D’Alembert dengan persamaan sebagai berikut.
Dengan fungsi f dan g sembarang (arbitrer) yang memenuhi kondisi
awal yan g dihubungkan dengan sumber khusus. Uraian dari f dan g
menghasilkan bentuk konstanta fungsional untuk nilai konstan dari yang
biasa disebut dengan fase dasi solusi gelombang. Untuk fase yang
nilainya diketahui bentuk fungsionalnya disebut wavefront. Kecepatan
dari wavefront dikontrol oleh parameter material seperti modulus Young
dan densitas. Batang padat dengan modulus Young yang besar menghasilkan
gelombang berjalan yang lebih cepat. Peningkatan nilai densitas akan
mengurangi kecepatannya, namun secara umum nilai E meningkat sebanding
dengan densitas. (Lay & Wallace, 1995)
Mekanisme umum yang dapat kita ikuti untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial seperti pada persamaan umum gelombang satu dimensi adalah dengan mengasumsikan solusi tersebut memiliki bentuk terpisah antara spasial dan temporal. Metode ini disebut dengan metode pemisahan variabel. Pertama kita asumsikan persamaan seperti berikut
Kemudian dimasukkan kedalam persamaan umum gelombang satu dimensi sehingga hasilnya akan seperti persamaan dibawah ini
Karena persamaan di sisi kiri hanya memiliki fungsi x1 dan harus
sama dengan fungsi yang ada di sebelah kanan yang hanya memiliki fungsi
t, oleh karena itu masing-masing fungsi harus disamakan dengan
konstanta. Dalam kasus ini konstanta yang diberikan adalah . Kemudian
akhirnya akan didapatkan dua pasang persamaan diferensial sebagai
berikut.
Persamaan diatas dapat diselesaikan dengan metode standar seperti
transformasi Fourier sehingga nantinya akan didapat empat konstanta
arbitrer yang ditentukan oleh kondisi batas dan kondisi awal.
Dalam hasil akhir nilai ω adalah frekuensi angular. Hubungan harmonik ini memiliki periode yaitu waktu yang ditempuh oleh sebuat titik untuk melintasi dua puncak berturut-turut pada gelombang harmonik sederhana. Berikut adalah gambaran dari parameter pada gelombang harmonik sederhana. (Lay & Wallace, 1995)
4.2 Persamaan Gelombang Tiga Dimensi
Persamaan gerak tiga dimensi adalah sebagai berikut :
Sedangkan dekomposisi dari bidang perpindahan pada komponen gelombang P dan komponen gelombang S adalah sebagai berikut :
Perpindahan yang berasosiasi dengan gelombang P diberikan pada geometry cartesian sebagai berikut
Sedangkan solusi untuk persamaan gelombang dalam koordinat kartesian dengan meyode pemisahan variabel adalah sebagai berikut :
Sehingga menghasilkan empat pasang persamaan seperti dibawah ini :
Pemantulan gelombang dua dimensi dan tiga dimensi berhubungan dengan muka gelombang. Muka
gelombang dapat kita amati, ketika sebuah batu di jatuhkan pada
permukaan air. Batu yang jatuh menyebabkan munculnya riak atau gelombang
air yang berbentuk lingkaran dan menyebar keluar dari pusat lingkaran.
Pada persamaan tiga dimensi biasanya terdapat pada gelombang elektromagnetik. Persamaan gelombang elektromagnetik adalah persamaan diferensial orde dua yang menjelaskan tentang perambatan gelombang elektromagnetik melalui sebuah media atau dalam ruang hampa. persamaan ini adalah dalam persamaan gelombang tiga dimensi. Bentuk persamaan homogen, ditulis dalam bentuk baik medan listrik E atau medan magnet B, mengambil bentuk:
Persamaan gelombang elektromagnetik berasal dari persamaan Maxwell’s, B disebut dengan densitas fluks magnetik atau induksi magnetik.
Solusi dari penyelesaian masalah persamaan gelombang dalam tiga dimensi ruang dapat diperoleh dari solusi penyelesaian untuk gelombang bola. Hasil ini kemudian dapat digunakan untuk mendapatkan solusi dalam dua dimensi ruang. Persamaan gelombang tidak berubah di bawah rotasi koordinat spasial, karena operator Laplace invarian berada pada rotasi, dan oleh karena itu kita dapat menganalisa untuk menemukan solusi yang bergantung hanya pada jarak radial dari titik tertentu. Solusi tersebut harus memenuhi
Persamaan diatas jika ditulis lagi, maka :
Kuantitas ru menunjukkan persamaan gelombang satu dimensi, ada salah satu bentuk solusi yaitu :
dimana F dan G adalah fungsi sembarang. Setiap periode dapat
didefinisikan sebagai gelombang bola yang mengembang atau berhubungan
dengan kecepatan c. Gelombang semacam ini dihasilkan oleh sumber titik,
dan mereka membuat sinyal tajam yang bentuknya mungkin hanya diubah oleh
penurunan amplitudo sebagai r meningkat.
Secara tiga dimensi arah perambatan gelombang dinyatakan dengan sumbu x, y, z. Untuk menentukan persamaan gelombang ini, diferensiasi persamaan (b.5; b.6 dan b.7) masing-masing terhadap x, y dan z sehingga untuk persamaan (b.5) diperoleh: (b.8)
Persamaan (b.8) merupakan persamaan gelombang longitudinal. Dari
persamaan gelombang tersebut diperoleh kecepatan gelombang longitudinal
atau dikenal dengan kecepatan gelombang-P yaitu sebagai berikut.
Untuk menurunkan persamaan gelombang transversal, maka persamaan
(b.6) diturunkan terhadap z dan persamaan (b.7) diturunkan terhadap y.
Hasil turunan persamaan (b.6) dikurangi hasil turunan persamaan (b.7)
menghasilkan: (b.10)
hubungan ini (dalam arah x) dituliskan menjadi: (b.11)
Untuk arah penjalaran y dan z diturunkan dengan cara yang sama, sehingga diperoleh hubungan: (b.12) & (b.13)
Persamaan (b.11), (b.12) dan (b.13) menyatakan persamaan
gelombang transversal. Dari persamaan gelombang tersebut diperoleh
kecepatan gelombang transversal atau dikenal dengan kecepatan gelombang-S yaitu sebagai berikut.
Berdasarkan pola-pola dari persamaan (b.8), (b.11), (b.12) dan
(b.13), kita dapat menarik suatu konklusi bahwa persamaan tersebut
berlaku umum. Hubungan ini disebut persamaan gelombang skalar, secara
umum dituliskan dengan: (b.15).
Dengan v menyatakan kecepatan tetap dan ψ menyatakan fungsi
gelombang pada posisi x, y, z dan waktu t tertentu, atau
dituliskan ψ(x,y,z,t).
artikel ini disalin lengkap dari: http://blog.ub.ac.id/vanino/2013/11/07/elastisitas-dan-gelombang-seismik/
halaman utama website: http://blog.ub.ac.id/
jika mencari artikel yang lebih menarik lagi, kunjungi halaman utama website tersebut. Terimakasih!
Gelombang merupakan fenomena alam dimana terjadi perambatan usikan atau energi dari suatu sumber ke titik-titik lain. Gelombang seismik adalah gelombang-gelombang yang merambat baik di dalam maupun di permukaan bumi yang berasal dari sumber seismik seperti dari sumber gempa dimana terjadi batuan pecah secara tiba-tiba di dalam bumi, ledakan(proses kimia dan nuklir), erupsi gunung api, longsoran, badai dan sebagainya.
Gelombang seismik termasuk gelombang mekanik dimana medium dibutuhkan dalam
perambatannya dan partikel dari medium tersebut berosilasi ketika gelombang melewatinya. Gelombang ini akan tercatat oleh seismometer sebagai seismogram yang merepresentasikan osilasi partikel di titik stasiun seismik tersebut. Gelombang merambatkan energi dari sumber ke seluruh bagian bumi dan membawa informasi baik tentang sumber seismik maupun medium yang dilewatinya.
Osilasi partikel yang disebutkan diatas dapat diartikan bahwa partikel tersebut berpindah dari keadaan setimbangnya. Perpindahan tersebut dinamakan displacement yang merupakan ukuran absolut perubahan posisi partikel. Komponen displacement dalam koordinat kartesian didefinisikan sebagai (u,v,w). Regangan merupakan ukuran lokal dari perubahan relatif dalam medan displacement. Regangan lebih berhubungan dengan deformasi atau perubahan bentuk dari perubahan absolut posisi.
Secara umum gelombang seismik dibagi menjadi dua yaitu gelombang badan dan gelombang permukaan. Gelombang badan atau bodi yaitu gelombang yang merambat di dalam medium. Gelombang jenis ini energinya ditransfer melalui medium dalam bumi. Biasanya dibagi menjadi dua yaitu gelombang P dan gelombang S. Gelombang P adalah gelombang longitudinal dimana arah pergerakan partikel akan searah dengan arah rambat gelombang. Gelombang P bergerak pada medium cair dan padat. Gelombang S merupakan gelombang transversal dimana arah pergerakan partikel akan tegak lurus dengan arah rambat gelombang. Gelombang P hanya merambat pada medium padat. Kecepatan gelombang P lebih besar dari kecepatan gelombang S jika merambat pada medium yang sama oleh karena itu gelombang P merupakan gelombang yang pertama kali sampai dan terdeteksi oleh receiver.
Pada gelombang S, gerak partikel ketika melewati suatu medium akan tegak lurus terhadap arah rambat gelombangnya dan terjadi perubahan bentuk (shear) tanpa perubahan volume. Arah gerak partikel ketika dilewati gelombang S secara umum bisa tak hingga banyaknya karena arah tegak lurus terhadap arah rambat gelombang yang jumlahnya tak berhingga. Oleh karena itu, para seismologis mendefinisikan dua buah tipe gelombang S yaitu gelombang SV (Shear Vertikal) dan SH (Shear Horizontal). Arah rambat gelombang dinyatakan oleh arah ray. Gerak partikel gelombang SV tegak lurus terhadap ray dan terletak pada bidang vertikal yang juga mengandung ray. Sedangkan gerak gelombang SH juga tegak lurus terhadap ray tapi terletak pada bidang horizontal atau sejajar dengan permukaan bumi.
Gelombang permukaan adalah gelombang yang merambat pada permukaan medium. Gelombang permukaan terbentuk dari interferensi gelombang-gelombang tersebut yang mempunyai sifat tertentu akibat interaksinya dengan permukaan bebas. Gelombang permukaan bersifat dispersif yaitu kecepatan gelombangnya tergantung pada frekuensi. Semakin besar frekuensinya semakin kecil kecepatannya dan penetrasi kedalamannya semakin dangkal dan sebaliknya.
Gelombang permukaan biasanya dibagi menjadi dua yaitu gelombang Love dan Rayleigh. Gelombang Love terbentuk akibat adanya interferensi gelombang-gelombang pantul gelombang SH pada suatu lapisan dekat permukaan bumi. Gerak partikel medium ketika dilewati Gelombang Love tentu saja sama dengan gelombang SH, tapi amplitudonya berkurang terhadap kedalaman. Tipe kedua gelombang permukaan adalah gelombang Rayleigh. Gelombang ini terbentuk akibat interferensi gelombang-gelombang pantul P dan SV yang sudut datangnya melebihi sudut kritis. Gerak partikel medium ketika dilewatinya berbentuk elips yang merupakan kombinasi dari gerak partikel gelombang P dan SV.amplitudonya juga akan turun terhadap kedalaman. (Afnimar, 2009)
2. Strain (Regangan)
Regangan didefinisikan sebagai suatu perbandingan antara perubahan dimensi suatu bahan dengan dimensi awalnya. Karena merupakan rasio antara dua panjang, maka regangan ini merupakan besaran yang tidak berdimensi atau tidak memiliki satuan. Dengan demikian regangan dinyatakan hanya dengan suatu bilangan tidak bergantung pada sistem satuan apapun. Harga numerik dari regangan biasanya sangat kecil karena batang yang terbuat dari bahan struktural hanya mengalami perubahan panjang yang kecil apabila dibebani. Asumsi yang selalu digunakan adalah bahwa benda terkekang sepenuhnya sehingga tidak bisa bergerak sebagai benda kaku jadi tidak mungkin ada perpindahan partikel benda tanpa perubahan bentuk benda tersebut.
Bidang vector u (x,t) membutuhkan deskripsi pergerakan dari setiap titik dalam medium. Medium mengalami dua tipe pergerakan fundamental yaitu
- Translasi atau rotasi seluruh badan
- Regangan atu deformasi internal
2.1 Hubungan Strain dan Perpindahan
Tujuan yang ingin dicapai sebenarnya adalah menentukan hubungan umum tiga dimensional antara sembilan komponen regangan kartesian dan tiga komponen perpindahan (u1, u2, u3). Misalkan ada sebuah kubus bervolume dengan titik pusatnya P seperti pada gambar 4 yang mempunya sisi tegak lurus dengan sumbu koordinat x1, x2, dan x3.
Gambar 4 Perpindahan untuk volum kubik yang kecil dengan pusatnya di titik P ke posisi baru dengan pusat pada titik P’.
Titik P dipindahkan dengan perpindahan vektor. Perpindahan dari P diberikan oleh persamaan berikut :3. Stress (Tekanan)
Stress didefinisikan sebagai intensitas gaya yang bekerja pada tiap satuan luas bahan. Akibat gaya luar yang bekerja, maka akan terjadi gaya dalam diantara benda. Oleh karena intensitas distribusi ini, stress dapat diperoleh dengan membagi gaya tarik total P dengan luas potongan penampang A.
Jika satu-kesatuan gaya bekerja pada sebuah partikel, baik partikel dalam maupun partikel luar, dimana gaya tersebut mempengaruhi setiap setiap titik dalam benda. Hal ini termasuk adanya gaya luar benda. Dua tipe gaya yang dapat di katakan satu kesatuan gaya yaitu body force dan contact forces. Body forces menyesuaikan pada volume materialnya. Yang biasa diberikan sebagai gaya berat dimana massa bergantung pada volume dan densitas material. Sedangkan gaya kontak adalah sebuah gaya yang bergantung pada luas permukaan. Gaya badan mempunyai dimensi gaya per volume sedangkan gaya kontak mempunyai dimensi gaya per satuan luas.
Untuk benda yang dikenai gaya luar, gaya kontak dalam harus bekerja pada suatu medium kami menggambarkan suatu medium yang mempunyai sistem sebaran gaya dalam seperti di ilustrasikan di bawah ini,
Gambar 5 (kiri) satu kesatuan yang bertindak sebagai gaya luar dan (kanan) gambaran bidang normal.
Kita bagi-bagi luasan dari suatu medium dalam luas permukaan ΔA dan
vektor normal n. Gaya kecil ΔF bekerja pada elemen lain, kita katakan
bahwa vektor tekanan atau vektor tarikan.(Lay & Wallace, 1995)
4. Persamaan Gerak
Gelombang adalah suatu gangguan dari keadaan setimbang yang bergerak dari satu tempat ke tempat lain (Young & Freedman, 1996). Sistem gelombang mempunyai fungsi gelombang yang menggambarkan perpindahan satu partikel dalam medium. Fungsi tersebut tergantung pada posisi dan waktu (dimensi ruang dan waktu ), sehingga secara umum fungsi gelombang dapat dinyatakan dengan . Pada gelombang satu dimensi, dimana gelombang merambat dalam arah dan bergerak dengan kecepatan konstan sebesar , fungsi gelombang dapat dinyatakan sebagai
.
Fungsi gelombang pada persamaan diatas dapat dinyatakan sebagai dan .
Dengan menggunakan aturan berantai, maka akan diperoleh persamaan
diferensial gelombang satu dimensi, yaituPersamaan diatas menggambarkan perambatan gelombang dengan kecepatan dalam ruang satu dimensi. Pada gelombang elektromagnetik nilai menyatakan komponen E dan H, pada tali yang digetarkan nilai menyatakan perpindahan dari keadaan setimbang, dan pada kelistrikan nilai menyatakan arus atau beda potensial (Boas, 1983).
Bentuk umum dari hukum konstitutif untuk elastisitas linear adalah Hukum Hooke sebagai berikut
Gelombang satu dimensi yaitu gelombang yang merambat dalam satu arah, contohnya gelombang tali, gelombang pada dawai dan sejenisnya. Pemantulan gelombang satu dimensi dapat kita buktikan dengan cara melakukan suatu percobaan sederhana. Ikat salah satu ujung tali pada sebuah tiang, pegang salah satu ujung tali, kemudian sentakkan ujung tali tersebut. Setelah ujung tali di sentakkan, akan terbentuk pulsa-pulsa gelombang yang merambat sepanjang ujung tali tersebut. Ketika pulsa mencapai tiang, bagian tali yang dekat dengan tiang memberikan gaya tarik pada siang, sesuai dengan Hukum III Newton yang menyatakan bahwa jika terdapat gaya aksi maka juga terdapat gaya reaksi. Hal inilah yang menyebabkan pulsa-pulsa gelombang yang merambat sepanjang tali bergerak naik- turun ke atas dan ke bawah.
Untuk persamaan gelombang satu dimensi dapat dimisalkan dengan sebuah batang tipis dengan panjang tak hingga dan arah X1. Osilasi longitudinal hanya menghasilkan perpindahan pada arah X1.
Gambar 6 Persamaan Gelombang 1 Dimensi pada Batang Tipis Panjang dengan Sumbu X1
Pada awalnya, persamaan gerak didapat dari keseimbangan antara
tekanan inersia dan gradien dimana dapat kita asumsikan bahwa sumber
yang tidak spesifik menyebabkan batang tidak seimbang.Berikut adalah
persamaannya.Mekanisme umum yang dapat kita ikuti untuk menyelesaikan persamaan diferensial parsial seperti pada persamaan umum gelombang satu dimensi adalah dengan mengasumsikan solusi tersebut memiliki bentuk terpisah antara spasial dan temporal. Metode ini disebut dengan metode pemisahan variabel. Pertama kita asumsikan persamaan seperti berikut
Dalam hasil akhir nilai ω adalah frekuensi angular. Hubungan harmonik ini memiliki periode yaitu waktu yang ditempuh oleh sebuat titik untuk melintasi dua puncak berturut-turut pada gelombang harmonik sederhana. Berikut adalah gambaran dari parameter pada gelombang harmonik sederhana. (Lay & Wallace, 1995)
Gambar 7 Parameter Gelombang Harmonik Sederhana
Jika gelombang tersebut dianggap fungsi x saja, maka panjang
gelombang atau λ merupakan jarak diantara puncak ke puncak pada sebuah
fungsi harmonik, dengan λ. Hubungan adalah wavenumber dari gelombang
harmonik sederhana. Berikut adalah tabel yang menunjukkan macam-macam
variabel yang biasanya digunakan untuk mendeskripsikan komponen
harmonik. (Lay & Wallace, 1995)Persamaan gerak tiga dimensi adalah sebagai berikut :
Gambar 8 (a) Proyeksi dari wavefront yang
didefinisikan oleh t=0 c=0 pada bidang xix3 dan berasosiasi dengan
vektor ka. (b) variasi dari posisi fase konstant wavefront untuk waktu
yang bertambah. Jarak pergerakan wavefront setelah waktu t adalah R.
Partikel gerak gelombang P adalah tegak lurus terhadap wavefront dan
paralel arahnya meskipun gelombangnya menyebar. Karakteristik seperti
ini juga berlaku untuk gelombang silindris dan bola. Jika kita
mengasosiasikan bidang xix2 dengan permukaan bumi dan sumbu x3 dengan
kedalaman, komponen Us1 dan Us3 terdiri dari pergerakan gelombang S pada
bidang xix3 dan biasanya disebut dengan komponen SV karena memerlukan
komponen dari pergerakan vertikal. Komponen x2 disebut dengan komponen
SH karena merupakan pergerakan horizontal. Ingat bahwa gelombang P tidak
memiliki komponen x2. Maka total perpindahan bidangnya adalahPada persamaan tiga dimensi biasanya terdapat pada gelombang elektromagnetik. Persamaan gelombang elektromagnetik adalah persamaan diferensial orde dua yang menjelaskan tentang perambatan gelombang elektromagnetik melalui sebuah media atau dalam ruang hampa. persamaan ini adalah dalam persamaan gelombang tiga dimensi. Bentuk persamaan homogen, ditulis dalam bentuk baik medan listrik E atau medan magnet B, mengambil bentuk:
Solusi dari penyelesaian masalah persamaan gelombang dalam tiga dimensi ruang dapat diperoleh dari solusi penyelesaian untuk gelombang bola. Hasil ini kemudian dapat digunakan untuk mendapatkan solusi dalam dua dimensi ruang. Persamaan gelombang tidak berubah di bawah rotasi koordinat spasial, karena operator Laplace invarian berada pada rotasi, dan oleh karena itu kita dapat menganalisa untuk menemukan solusi yang bergantung hanya pada jarak radial dari titik tertentu. Solusi tersebut harus memenuhi
Secara tiga dimensi arah perambatan gelombang dinyatakan dengan sumbu x, y, z. Untuk menentukan persamaan gelombang ini, diferensiasi persamaan (b.5; b.6 dan b.7) masing-masing terhadap x, y dan z sehingga untuk persamaan (b.5) diperoleh: (b.8)
artikel ini disalin lengkap dari: http://blog.ub.ac.id/vanino/2013/11/07/elastisitas-dan-gelombang-seismik/
halaman utama website: http://blog.ub.ac.id/
jika mencari artikel yang lebih menarik lagi, kunjungi halaman utama website tersebut. Terimakasih!
No comments:
Post a Comment